PERMAINAN MENARA HANOI

A. Legenda Teka-Teki Menara Hanoi

Menara Hanoi merupakan salah satu diantara berbagai teka-teki dalam matematika. Teka-teki ini ditemukan ditemukan oleh  Edouard Lucas, ahli matematika Perancis di tahun 1883.

Teka-teki ini berdasarkan pada sebuah cerita legenda tentang candi Indian atau menara Benares di India yang memiliki tiga tiang dan salah satu tiangnya terdapat 64 tumpukan cakram emas. Para pendeta mendapat tugas untuk memindahkan cakram emas itu ke tiang yang lain sesuai dengan suatu aturan. Konon, Dewa Brahma menciptakan tiga tiang pada candi tersebut. Pada salah satu tiang terdapat tumpukan cakram emas sebanyak 64 keping, dengan urutan keping yang terbesar terletak di bawah, makin ke atas makin kecil. Selanjutnya Dewa Brahma memerintahkan para pendeta untuk memindahkan keping-keping emas itu dengan suatu aturan tertentu yang tidak boleh dilanggar(aturan matematis) dan dunia akan berakhir apabila dewa Brahma selesai memindahkan cakram-cakram emas tersebut.

Permainan Menara Hanoi sering digunakan dalam penelitian psikologis dalam hal pemecahan masalah. Selain itu, juga sering digunakan dalam pengajaran algorima rekursif bagi pelajar pemrograman. Permainan ini juga digunakan sebagai ujian ingatan oleh ahli psikolog syaraf dalam berupaya mengevaluasi amnesia.

Dengan berbagai macam metode penghitungan dan penelitiannya, permainan Menara Hanoi ini akhirnya terpecahkan dengan solusi :

“Jika terdapat sejumlah n cakram pada permainan menara hanoi, maka banyaknya perpindahan yang terjadi (tetap mengikuti aturan permainan) hingga semua n cakram sampai di tiang tujuan adalah 2ⁿ − 1 perpindahan.”

Jadi begini, asumsikan bahwa tiang pertama merupakan tiang asal, tiang yang di tengah merupakan tiang bantu, dan yang disebelah kanan merupakan tiang tujuan. Jadi terdapat 4 buah cakram yang terdapat pada tiang asal, yang akan dipindahkan ke tiang tujuan. Cara memindahkannya yaitu dengan memanfaatkan tiang bantu yang ada di tengah. Mulailah memindahkan cakram yang paling atas, yaitu yang paling kecil. Dilanjutkan dengan memindahkan cakram yang paling atas dari tiang asal ke tiang lainnya yang masih kosong. Demikian selanjutnya, anda harus menyusun cakram tersebut mulai yang terbesar diletakkan di bawah, dan semakin ke atas ukuran cakramnya semakin kecil, dengan syarat dalam satu perpindahan hanya satu cakram yang dipindahkan.

1. A.    Alat Dan Bahan Membuat Menara Hanoi

            Dalam membuat menara hanoi ada alat dan bahan yang harus disediakan terlebih dahulu, yang digunakan dalam pembuatan media menara Hanoi adalah sebagai berikut:

1. Papan triplek
2. Gergaji
3. Amplas
4. Pisau
5. Penggaris
6. Alat tulis
7. Jangka
8. Dan lain-lain
9. B.     Langkah Kerja Pembuatan Menara Hanoi

Berikut ini adalah langkah-langkah dalam membuat atau menyusun permainan menara hanoi:

1. Sediakan papan triplek (kira-kira berukuran 20x60cm).
2. Buat sketsa bangun persegi
3. Buat 3 Potong tongkat berbentuk tiang dengan tinggi
4. Buat 7 cakram dengan diameter terbesar 18 cm kemudian 16 cm, 14 cm, 12 cm, 10 cm, 8 cm, dan 6 cm (susunan cakram berbentuk kerucut dengan cakram terkecil berada paling atas)
5. Haluskan dengan amplas
6. C.    Penggunaan alat peraga menara Hanoi dalam pembelajaran:
   1. Guru dapat menceritakan legenda di India tentang menara Benares sebagai pengantar di awal pembelajaran
   2. Aturan permainan matematis menara hanoi:

• Hanya satu cakram yang boleh dipindahkan dalam satu waktu
• Setiap perpindahan berupa pengambilan cakram teratas dari satu tiang dan memasukkannya ke tiang lain, di atas cakram lain yang mungkin sudah ada di tiang tersebut
• Tidak boleh meletakkan cakram di atas cakram lain yang lebih kecil.

1. Petunjuk kerja:

• Percobaan dapat dimulai dari 1 buah cakram, 2 buah cakram, 3 buah cakram, dan seterusnya sampai dengan 7 cakram.
• Setiap pemindahan satu cakram dari satu tiang ke tiang yang lain diperhitungkan sebagai satu langkah perpindahan.
• Total pemindahan adalah banyaknya pemindahan minimal.

1. Untuk memudahkan siswa melakukan penyelidikan, siapkan lembar kerja yang antara lain berisi tabel hasil percobaan, sebagai berikut:

Tabel 1

Banyak cakram (n)	Banyak perpindahan(L)	Proses perpindahan(proses rekursif)	Dugaan pola
1	L1=1	L1=1
2	L2=3	L2=2L1+1
3	L3=7	L3=2L2+1
4	L4=15	L4=2L3+1
5	L5=31	L5=2L4+1
.. .	.. .	.. .
N	.  .  .	Ln=2Ln-1+1

1. Bila diperhatikan, saat melakukan pemindahan 1 cakram, 2 cakram, dan seterusnya, sebenarnya kita melakukan pemindahan dan penyusunan yang sama berulang-ulang. Untuk memindahkan 2 cakram, perlu memindahkan terlebih dahulu 1 cakram kecil ke tiang singgah lalu memindahkan cakram besar ke tiang tujuan baru memindahkan cakram kecil ke tiang tujuan. Artinya, untuk memindahkan n cakram maka perlu memindahkan (n-1) cakram yang lebih kecil ke tiang singgah, lalu memindahkan 1 kali cakram terbesar ke tiang tujuan, dilanjutkan dengan memindahkan kembali n-1 cakram yang lebih kecil tadi ke tiang tujuan. Dari sini tampak bahwa untuk mendapatkan total pemindahan yang minimal maka diperlukan pemindahan (n-1) cakram dua kali dan ditambah pemindahan cakram terbesar satu langkah. Proses ini disebut dengan proses rekursif.
2. Siswa sudah mencoba menyelesaikan perpindahan cakram sesuai dengan aturan permainan dan sudah mampu mengisi tabel 1. Siswa juga sudah bisa menerka berapa barisan selanjutnya Selanjutnya karena sasaran permainan matematis kita adalah anak SD maka sekarang saatnya kita arahkan untuk mendapakan sebuah pola

Tabel 2

Banyak cakram (n)	Banyak perpindahan(L)	Proses perpindahan(proses rekursif)	Dugaan pola
1	L1=1	L1=1	2-1= 2 1  -1
2	L2=3	L2=2L1+1	4-1= 2 2 -1
3	L3=7	L3=2L2+1	8-1= 2 3 -1
4	L4=15	L4=2L3+1	16-1= 2 4 -1
5	L5=31	L5=2L4+1	32-1= 2 5 -1
.. .	.. .	.. .	.. .
n		Ln=2Ln-1+1	2 n -1

Dengan cara yang menantang dan juga menyenangkan akhirnya siswa mendapatkan pola bilangan 2ⁿ – 1